YANINDA BULUNSUN
? ÖRNEK 10
5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sa-
yısı kaçtır?
çözijM
5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümeleri; 3 eleman-
II, 4 elemanlı ve 5 elemanlı alt kümeleridir.
3 elemanlı alt kümelerin sayısı;
4 elemanlı alt kümelerin sayısı;
5 elemanlı alt kümelerin sayısı;
5-4
2
— 16
? ÖRNEK
bulunur.
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde,
a) a eleman olarak vardır?
b) 2 eleman olarak vardır ve b yoktur?
c) En az bir harf vardır?
d) 3 elemanı ve c elemanı vardır?
e) I elemanı veya a elemanı vardır?
ÇÖZÜM
a) A (I , 2, 3, a, b, c) kümesinin a'nın eleman olarak bulundu-
ğu 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulacağız.
3 elemandan biri a olacaksa kümenin geri kalan 5 elema-
nından 2 eleman seçmeliyiz.
Azff,2, 3, a, b, c)
5
I, 2, 3, b ve c elemanlarından 2 tanesini,
şekilde seçebiliriz.
10 değişik
(Burada önemli olan sadece elemanları seçmekti. Kümenin
içinde bu elemanların hangi sırayla, nasıl yazıldığının bir
önemi yok.)
Kombinasyon
b) A (1, 2, 3, a, b, c) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden
2'yi eleman olarak bulundurup b'yi bulundurmayanların
sayısını bulacağız.
A: (1, 2, 3, a,hc)
2 eleman olarak bulunduğuna göre iki tane daha eleman
seçmeliyiz. b, eleman olarak bulunmayacağına göre geri
kalan 1, 3, a ve c elemanlarından yani dört elemandan iki
eleman seçmeliyiz.
6 bulunur.
c) A (I, 2, 3, a, b, c) kümesinin, içinde en az bir harf bulunan
3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulacağız.
Sorunun çözümü için bir harfin, iki harfin veya üç harfin bu-
lunduğu 3 elemanlı alt kümeleri bulmaya kalkarsak bu biraz
yorucu olmakla beraber zaman alacaktır.
İyisi mi biz, kümenin bütün 3 elemanlı alt kümelerinin
sayından içinde harf bulunmayan 3 elemanlı alt kümelerinin
sayısını çıkaralım.
3 elemanlı tüm alt kümelerin sayısı;
6 6-5-4
20 olur.
3-2-1
İçinde harf bulunmayan 3 elemanlı alt kümelerin sayısı;
I olur.
Cevabımız; 20 — I 19 olur.
3 ve c elemanları olacağına göre geri kalan I, 2, a ve b
elemanlarından birini seçmeliyiz.
Cevabımız; 1
olur.
e) I elemanı veya a elemanı olacak demek, alt kümeleri;
1 var ve a yok,
1 yok ve a var,
I var ve a var şeklinde üç parça halinde incelemek de-
mektir. Biz, tüm durumdan hem I elemanının hem de a
elemanının olmadığı durumları çıkaralım. Üç parça halinde
incelemeye de gerek kalmasın.
(ğ) -20
Tüm durum:
Hem I hem de a olmayacaksa kümenin geri kalan 2, 3, b ve
c elemanlarından 3'ünü seçmeliyiz.
Yani;
4 olur.
O hâlde cevabımız; 20 — 4 16 olur.
k'
