TÜREV
TÜREV SÜREKLİLİK
Türev süreklilik ilişkisini açıklamadan önce soldan ve
sağdan türev kavramlarını tanımlayalım.
Soldan ve Sağdan Türev
AÇ R, f: veaEAiçin
f(x) - f(a)
limiti varsa bu limit değerine f tonkşi-
yonunun x a noktasındaki soldan türevi denir.
f'(a-) İle gösterilir.
f(x) - f(a)
limiti varsa bu limit değerine f fonk-
Siyonunun x a noktasındaki sağdan türevi denir,
f'(a+) İle gösterilir,
Bir Fonksiyonun Bir Noktada ve Bir Aralıkta
Türevlenebilirliği
Aç R, f : ve a EA olmak üzere
f : A— R fonksiyonunun x a noktasında türevinin var
olması için mutlaka:
• x z a noktasında sürekli olmalı.
• x a noktasındaki sağdan ve soldan türevleri
birbirine eşit Olmalı.
Bir f fonksiyonu (a, b) aralığındaki her noktada türev-
lenebilir ise bu fonksiyon (a, b) aralığında türevlene-
bilirdir.
ÖRNEK - ı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
x 21
t(x)
fonksiyonu x z 1 noktasında türevli midir?
ÇÖZÜM
f fonksiyonu x 1 noktası kritik nokta olduğundan önce
bu noktada süreklilik incelendiğinde
lim f(x)— lim x2
lim f(x)— lim 2x 1
Hatırlayalım.
1 olur.
3 olur.
5
f fonksiyonunun x | noktasında sağdan ve soldan
limitlerl farklı olduğu için bu noktada sürekli değildir.
Bu durumda t fonksiyonu x 2 noktasında sürekli ol-
madığından türevli değildir.
Cevap: Türevli değildir.
ÖRNEK -2
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)
fonksiyonu x 2 noktasında türevli midir?
ÇÖZÜM
x 2 noktası kritik nokta Olduğu Çin bu noktada sürek-
liliği incelendiğinde
lim t(x): lim (x3 -x) —6 olur,
lim lim 3x
6 Olur.
52
ORİJİNAL
O hâlde f fonksiyonu x 2 noktasında süreklidir.
f fonksiyonunun x 2 noktasında sürekli olması 0 nok-
tada türevli olması İçin yeterli değildir. Aynı zamanda
sağdan ve soldan türevlerinin de eşit olması gerekir,
lim lim (3x2-1) z 3-22 -1 z 11 olur.
lim f'(x): lim 3 z 3 olur.
f fonksiyonu x 2 noktasında sürekli Olduğu hâlde
sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit olmadığından
x 2 noktasında türevi yoktur.
Cevap: Türevli değildir.
UYARI: Bir fonksiyonun sürekli olduğu bir nokta-
da türevi olmayabilir.
MATEMATİK
