1.
2.
TÜREV
TÜREV SÜREKLİLİK İLİŞKİSİ
TÜREV SÜREKLİLİK İLİŞKİSİ
f(x) — f(a)
ı. 13
Bir noktadaki türev, fonksiyonun o noktadaki anlık değişim
oranı olduğunu öğrenmiştik. O halde bir noktadaki türevin var-
lığının ilk koşulu fonksiyon o noktada sürekli olmasıdır. Sürek-
lilik türevin varlığı için yeterli değildir.
f(x) — f(a)
Sağdan türev: fl(a+) lim
x—•a
limitinin değerine fonksiyonun a noktasındaki sağdaki türevi
denir.
Soldan türev: fl(a-) lim
X
x—•a
limitinin değerine fonksiyonun
denir.
a noktasındaki soldaki türevi
ÖRNEK
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu
f(x)
x 22
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f fonksiyonunun x
varlığını inceleyiniz.
çözüM
Öncelikli olarak f fonksiyonunun x 2 noktasındaki sürekliliğini
Konuyu toplayacak olursak, f fonksiyonunun a noktasında tü-
inceleyelim.
lim +f(x) 8
lim f(x) 8,
2 noktasındaki türevin
f(2) 8 olduğundan
revinin olabilmesi için
• a noktasında sürekli olmalıdır.
o fl(a+) —
— fl(a-)
koşullarının sağlanması gerekir.
Buradan f fonksiyonu x a noktasında türevli
ama tersi her zaman doğru değildir.
ise süreklidir,
x 2 noktasında f fonksiyonu süreklidir.
Şimdi sağ ve sol türevini inceleyelim.
fl(2+) (4x)l 4, fl(l) (X2 + 2x)I 6
sağ ve sol türevler eşit olmadığından f fonksiyonunun, x 2
noktasında türevi yoktur.
Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu
3.
4.
60
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu a
gerçel sayısı için
f(x)
x 42
x 22
Buna göre, d(2-) + fl(2+) toplamını bulunuz.
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu
II.
III.
IV.
V.
x a noktasında sürekli ise limiti vardır.
x a noktasında sürekli ise türevlidir.
x a noktasında türevli ise süreklidir.
x a noktasında limitli ise türevlidir.
x a noktasında türevli ise limitlidir.
f(x) z
2
x 41
x 71
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f fonksiyonu ile ilgili,
l. x z 1 noktasında süreklidir.
II. x z 1 noktasında türevlidir.
III. fl(ı) -2
ifadelerinden hangileri doğrudur?
ifadelerinden kaç tanesi her zaman doğrudur?
a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi
üzerinde bir f fonksiyonu
ax + 2x,
f(x)
ax + b,
f fonksiyonu her noktada türevli olduğuna göre a + b
toplamını bulunuz.
2. Yalnız I
