TÜREV
f: [a, b] R fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve
(a, b) aralığında türevlenebilir olsun,
f(a) f(b) ise (a, b) aralığında en az bir c değeri için
f'(c)
Rolle teoremini grafik yardımıyla İzah edelim.
dl
Y f(x)
o
ÖRNEK -1
2
2
f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve (a,
b) aralı-
ğında türevlidir. f(a) f(b) koşulu da sağlanmaktadır.
(b) - f(a)
f(a) olması
değişim oranının sıfır Olduğunu gösterir.
Dolayışıyla grafiğin uç noktalarını birleştiren doğrunun
eğiminin sıfır olduğu anlamına gelir.
(a, b) aralığında en az bir x c noktasından çizilen
teğet doğrularının x eksenine paralel olduğu söylen-
mektedir. (dl ve d2 gibi iki doğru çizdik. Verdiğimiz
f fonksiyonu için)
ÖRNEK - 1
f(x) x2 + 2x + 3 fonksiyonunun [—4, 2] aralığında
Rolle teoremini sağlayan x değerini bulalım.
ÇÖZÜM
f fonksiyonu [-4, 2] aralığında sürekli ve (-4, 2) ara ığında
türevlidir.
f(2) olup olmadığını inceleyelim.
(2) -4+4+3:11
f(2) 1(-4) koşulunu sağlamaktadır.
Şimdi, f'(x) 0 Olan x E- (-4, 2) değerini bulmaya çalışalım.
z
5
o
II.
III.
Grafikleri verilen fonksiyonlardan hangileri [1, 2]
aralığında Rolle teoremini sağlar?
ÇÖZÜM
f fonksiyonu [1, 2] aralığında sivri uç yaptığı noktada
türevli olmadığından Rolle teoremini sağlamaz.
g fonksiyonu [1, 2] aralığında g(l) g(2) olduğundan
Rolle teoremini sağlamaz.
h tonkşiyonu [1, 2] aralığında sürekli, (1, 2) aralığında
türevlidir.
h(l) h(2) koşulunu da sağlar.
h(x) k E R olsun.
h'(x) 0 olduğundan (1, 2) aralığındaki her nokta Rolle
teoremini sağlar.
t fonksiyonu (1, 2] aralığında sürekli, (1, 2) aralığında
türevlidir.
t(l) (2) koşulunu da sağlar.
t k noktasından grafiğe çizilen
teğet x eksenine paralel Olur.
f'(k) O'dır. k noktası Rolle teo-
remini sağlar.
Cevap: III ve IV
f(x) z x2 2x 43
f'(x) 2x +2 olur.
x —-1 (-4, 2) olduğundan x
2X+2-o
teoremini sağlar.
82
-1 sabiti Rolle
Cevap: -1
ORİJİNAL
MATEMATİK
