RIEMANN TOPLAMI TANIM
İNTEGRAL
SONUÇ:
b
AN ve üst toplamda yaptığımızdan farklı olarak [a, b] ara-
lığına eş uzunluktaki alt aralıklarının her birinden rastge-
. x2 , xn noktalarını seçelim. Bu noktalar yar-
dımıyla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı Rİe-
mann toplamını oluşturur.
Riernann toplamıdaki dikdörtgenleri oluştururken
Axk z:
aralık boylarını eşit alıp
k- 1,2, 3, ...n
şeklinde [Xk_ı, noktalarını seçersek:
Riemann toplamıdır.
Riemann toplamındaki dikdörtgenlerin yüksekliği, alt to-
plamdaki dikdörtgenlerin yüksekliğinden büyük (veya eşit),
üst toplamdaki dikdörtgenlerin yüksekliğinden küçük veya
eşittir.
O halde alt toplam, üst toplam ve Rieman toplamı arasında
her zaman
eşitsizliği vardır.
• f negatif olmayan sürekli bir fonksiyon olsun.
n parçalanış sayısı mümkün Olan en fazla sayıda
oluşturulsaydı yani n -+ İçin
lim AO) z lim R(f) lim Ü(f) Eğri altındaki alan
eşitliği gerçekleşir.
DİKKAT
f İn negatif değerli Olduğu bir aralıkta elde edilen
Riemann toplamı negatif çıkabilir.
Bu değerin mutlak değeri 0 aralıkta 1 İn altında kalan
bölgenin alanını verir.
— 172 ¯
l. [a, bl aralığında tanımlı bir fonksiyon için
lim E
limitinin Sonucu bir gerçel sayıya eşitse f fonksi-
yortuna, [a, b) aralığında intgrallenebilir denir. Bu
limit işlemi
lim
şeklinde gösterilir. Bu gösterime '(x) in [a. b] ara-
lığındaki belirli İntegrali denin Burada a alt sınır
ve b üst sınır olarak adlandırılır,
Özel olarak [a, b] aralığı [O, 1] aralığı olduğunda
Ax z
z —ve Xk za+k
limitinin sonucu bir gerçel sayıya eşitse t fonksi-
yonuna, [a. bl aralığında integrallenebilirdenir. Bu
eşitliği yazılabilir.
Şimdi alt toplam, üst toplam ve Riemann toplamı ile ilgili
örnekler çözelim.
ADIM PEKİŞTİRME
ÖRNEK
0
özüm
x e 10, 1] ve f(x) din
ba 1-0 1
Yandaki boyalı bölgenin
alanını Rİemann toplamı
yardımıyla gösteriniz.
Belirli İntegral
