ORİJİNAL BİLGİ NOTU
Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımı, karmaşık sayının
reel kısmının karesi ile sanal kısmının karesinin toplamına
eşittir.
İse a2+b2
a, b ve c birer gerçel sayı ve a 0 olmak üzere,
ax24bx+cz0
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminde
A e 0 İse
denklemin gerçel kökü olmayıp sanal kökü vardır.
: -2i, -1 + 20
%23-i
KARMAŞIK
SAYILAR
ÇÖZÜM
İse x2 —2i —
k) - 2v'â
b- 2v/ğ Olur.
ÖRNEK -3
cevap:
i2 olmak üzere, bir kökü 2 - 3i olan ikinci dere-
Kökler
ve
¯2â¯
olur. Bu kökler birbirinin eşleniğidir.
Yani; m ve n birer gerçel sayı olmak üzere, sanal köklerden
birisi m + ni ise diğeri m — ni dir.
ÖRNEK - 1
x2+2X+5-o
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
çözüM
A: b2— 4acz22
—16 0 olduğundan gerçel kök yoktur.
ceden denklemlerden birini bulunuz.
çözüM
Denklemin kökleri XI ve x2 Olsun.
XI —2 — 3İ ise
& -2 +3i dir.
kökleri bilinen ikinci dereceden denklem
şeklinde bulunur.
+XZ-2-3İ+2+3İ
XI 'E —22432
XI .&24+9-13
XI + x2 ve xı•X2 yerine yazılırsa
x2—4x + 1320 Olur.
Cevap: x2
ÖRNEK -4
i2 z —1 olmak üzere,
zı•Z2 210
eşitlikleri veriliyor.
-4x + 13 -o
2a
¯Q¯
_ -2+4i
¯2¯
2a
ç.K. : I-1 -2, -1 +2i) Olur.
Cevap
ÖRNEK -2
i2 —1 ve b, c birer gerçel sayı olmak üzere,
denkleminin kökleri x, ve x2 din
olduğuna göre, b kaçtır?
Buna göre, Zl ve z2 karmaşık sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM
z, + z2 —6 olduğundan sanal (imajiner) kısımlar birbi-
rini götürmüştür.
z 1 •z2 10 olduğundan çarpma işleminde sanal kısım
yoktur. Bu yüzden zı ve karmaşık sayıları birbirinin
eşleniğidir.
z 1 —a + bi ise 4 —a— bi dir.
Zı + Z2 (a + bi) + (a — bi)
zı + z2Z2a
2a-6
veya
Cevap:
ORİJİNAL
zı •z2 (a + —bi)
32 + b2 10
zı —3 + i ve 4:3— i olur.
MATEMATİK
115
