O TRİGONOMETRİK AÇILARIN TOPLAMI ve FARKI
İLE İLGİLİ FORMÜLLER
30', 450 ve 600 lik özel açıların trigonometrik oranlarını dik
üçgen yardımı ile hesaplıyorduk. Şimdi bazı özel açılar ve
günlük hayat problemlerinde bu özel değerler dışında
herhangi bir değerle karşılaştığımızda o açıyı iki açının
toplamı ya da farklı şeklinde bulmaya çalışacağız
ilk olarak 3 adet yardımcı üçgen vererek sorularda işimizi
kolaylaştıralım.
HAkkınbA P ilinmedl' Gerekenler
cosb • sına
sin(a + b)
sınb • coşa
cos a • cosb
cos a • cosb
cos a • cosb
cos150 — cos(600
Özü
b 'p olmak üzere,
2
coşa
2
2
ve sinb
2
olduğuna göre,
cos(a + P) ifadesinin değeri kaçtır?
8
A)
465
sinx + cosy
cosx + siny
13
E)
sına
tana
şeca
7
65
3
4
3
13
C)
8
1/65
Cevap: E
B coşa C
a açısının hipotenüsü
1 birim
c
a açısının komşu
kenarı 1 birim
B cota C
a açısının karşı
kenarı 1 birim
O zaman ilk olarak hipotenüsü 1 birim olan bir üçgeni ABCD
dikdörtgeni içerisine yerleştirelim. a ve b açıları ile kenarları
trigonometrik olarak yazalım.
D cos(a + b) K sina • sinb C
sına
olduğuna göre, sin(x + y) değeri kaçtır?
D) iş
Cevap: A
R
A
cosb • coşa
Şimdi tanjant toplam fark formülünü bulalım.
sin +bj
tan(a + b) -
olduğundan
cos • a +bj
IABI IDCI ve IDAI ICBI
cos(a + b) coşa • cosb — sina • sinb
sin(a + b) sina • cosb + coşa • sinb
olarak bulundu. Bunlar toplam formülleriydi. Şimdi ufak bir
hatırlatma ile fark formüllerini ispatlayalım.
sina : —sin(—a) ve
coşa :
R sin(x — y) sin(x + (—y)) sinx • cos(—y) + cosx • sin(—y)
sinx • cos(y) + cosx • sin(—y) sinx • cosy — cosx • siny
R cos(x y) cos(x+ cos(—y) cosy + sinx • sin(—y)
cosx • cos(y) sinx • sin(—y) - cosx • cosy + sinx • siny
sina • cosb + coşa • sin b
eşitliklerini elde ederiz
coşa • cosb — Sina • sinb
sina • cosb çarpımından tana sonucunu elde etmek için tüm
ifadeleri coşa • cosb bölelim.
sın a
• cos b
cos a • sin b
coşa • cos b
sina • sinb
coşa • cos b
gerekli sadeleştirmeler yapıldılığında
ornek
sin 150
: sin(45' - 30')
sin750 : sin(45' + 300)
tana + tan b
tan- a +bj
1— tana • tan b
eşitliği elde edilir. Şimdi
tanb —tan(—b) eşitliğini
cos1050
_ 450)
cos(600 + 45
hatırlayarak fark formülünü ispatlayalım.
ifadelerinin eşitini bulunuz.
tan a + tan • -bj
tanba + • -bjl —
-bj
1 — tana • tan
tana - tanb
1+tana • tanb
