Kombinasyon
? ÖRNEK 33
kümeleri veriliyor.
Buna göre, A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde
B kümesine ait en az iki eleman vardır?
çözijM
kümeleri veriliyor.
A kümesinin alt kümelerinin kaçında B kümesine ait en az iki
eleman olduğunu bulacağız.
Peki; A kümesinin aradığımız bu alt kümelerinin kaç elemanlı
olacağı söylenmiş mi? Hayır! O hâlde olabilecek tüm durumları
bulmalıyız.
B kümesinin en az iki elemanı dendiğine göre üç elemanı da
yani B kümesinin tamamı da aranan alt kümelerde olabilir.
O zaman sorunun burasından başlayalım ilk olarak.
Yani; A kümesinin kaç tane alt kümesi B kümesini içinde ba-
rındırır?
Aradığımız alt kümenin içinde 3, 4 ve 5 eleman olarak buluna-
cak.
A zfl, 2, 3, 4, 5, 6)
O hâlde I , 2 ve 6 elemanlarına soralım.
Yazılacak alt kümenin içinde bulunacaklar mı yoksa bulunma-
yacaklar mı?
I için iki seçenek,
2 için iki seçenek ve
6 için iki seçenek vardır.
Çarpma ilkesi gereği; 2 • 2 • 2 8 seçenek oluşur.
(3, 4 ve 5 elemanlarına sormadık çünkü onlar bulunmak zorun-
dalar.)
O hâlde A kümesinin 8 tane alt kümesi, B kümesinin üç elema-
mm da içinde barındırır.
Şimdi de A kümesinin kaç tane alt kümesinde B kümesine ait iki
eleman olur sorusunu çözelim.
A- (1,2, 3, 4, 5, 6), B- (3, 4, 5)
B kümesinden herhangi iki eleman seçelim.
3 ve 4 olsun mesela.
A kümesinde 3 ve 4'ü eleman olarak barındıran kaç tane alt
küme vardır? Ama dikkat edin bu alt küme yanlışlıkla B kümesi-
nin diğer elemanı 5'i de içine almasın. Onu hesaplamıştık zaten.
O hâlde A kümesinde 3 ve 4'ü barındırıp 5'i barındırmayan kaç
tane alt küme vardır?
YANINDA BULUNSUN
Az (1, 2, 3, 4,K, 61
1, 2 ve 6 elemanına kümede bulunup bulunmayacağını sorar-
sak; 2 • 2 • 2 8 seçenek olur.
Yani A kümesinde 3 ve 4'ü eleman olarak barındırıp 5'i barındır-
mayan toplam 8 tane alt küme yazılır.
B kümesinden özel olarak 3 ve 4'ü seçmiştik. Bu durum her ikili-
de aynen yaşanacaktır. 3 elemanlı olan B kümesinden herhangi
2 elemanı seçelim. her ikili için 8 seçenek olur.
• 24 tane alt küme oldu.
O hâlde,
B kümesinin tamamını barındıran 8 tane ve iki elemanını barın-
dıran A kümesine ait 24 tane alt küme bulduk.
O hâlde cevabımız; 8 + 24 32 olur.
Dikkat ederseniz çözümde kombinasyonu çok kullanmadık.
Bunun temel nedeni A kümesinin aradığımız alt kümelerinin
eleman sayılarının sıralanmamasıydı.
Yani A kümesinin verilen şarta uygun tüm alt kümelerinin sayı-
sını bulduk.
Şimdi soruyu şöyle değiştirelim.
kümeleri veriliyor.
A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde B kü-
meşine ait en az iki eleman bulunur?
Çözüm;
Öncelikle bu 4 elemanlı alt kümemizde 3, 4 ve 5 elemanlarının
hepsi olsun.
Geriye kalan bir elemanı I , 2 ve 6 elemanlarından;
3 şekilde seçeriz.
Şimdi iki eleman barındıranlara bakalım.
Alt kümemiz 3 ve 4'ü barındırıp 5'i barındırmasın.
.3
Alt kümede geriye kalan iki elemanı I, 2 ve 6 arasından;
3 şekilde seçeriz.
Demek ki 3 ve 4'ün olup 5'in olmadığı 3 alt küme yazılabiliyor.
82
