İNTEGRAL
ÖRNEK 5 ÖSYM 2021 -AYT
Bir bilgisayar programında ve f'(x) fonksiyonlarının
grafikleri çizildikten sonra koordinat eksenleri silinmiş ve
arka plana gŞ karelerden oluşan bir ızgara yerleştirildiğin-
de aşağıdaki görüntü elde edilmiştir.
Buna göre, alabileceği en küçük değer kaçtır?
özüm
Sevgili öğrenciler, şimdi 2021 AYT sınavının en seçici ve
güzel sorularından birini İki farklı yolla çözeceğiz. Bu so-
runun farklı versiyonlarını 'Türev" kitabımızı çözenleriniz
hatırlayacaktır. Bu soru için anlatacağımız iki çözüm yo-
lundan birinde İntegral diğerinde türev kullanacağız. ÇÖ-
züm yollarından hangisi hoşunuza giderse benzer soru-
larda onu tercih edebilirsiniz.
Şekildeki eş karelerin bir kenarı n birim olsun.
Fonksiyonun tepe noktası Olan A noktasında türev sıfır-
dır ve bu noktanın apsisinde f'(x) O olmalıdır Bu du-
rumda türev grafiğinde A noktası İle aynı hizada Olan B
noktası x ekseni üzerinde olmalıdır. Böylelikle x ekse-
ninin nerede olduğunu anlamış olduk. Boyalı olarak gös-
terdİğİmİz bölgenin alanını İfade eden İntegrali yazalım,
alana eşitleyelim.
Belirli İntegral
3n.3n
fl(x) dx
2
Grafik üzerinden bakılırsa
9n2
2
I(a) 4n ve 2n bulunur. (k)'da yerine yazarsak,
9n2
2
9n2
n — Olur.
2
9
f fonksiyonu en küçük değerini tepe noktası Olan A(b, 2n)
noktasında aldığına göre, fonksiyonun en küçük değeri
f(b) z 2n 2.— z— bulunur.
x ekseninin nasıl belirlendiğini 1. Yorda göstermiştik.
Fonksiyonun 1. türevi bir doğru belirttiğinden gra-
fiği paraboldür. Parabolün en küçük değeri grafik sağa ya
da sola ötelense de değişmez. Dolayışıyla bu soruda pa-
rabolün tepe noktasını y ekseni üzerinde kabul edebili-
riz. Bu kabul parabolün en küçük değerini değiştirmez.
EŞ karelerin her birinin bir kenarı yine n olsun.
Parabolün tepe noktasını y ekseni üzerinde kabul etn•üştik.
Bu durumda parabolün tepe noktası T(O,2n) olur.
Fin türevinin grafiği orijinden geçtiğine ve eğimi 1 oldu-
ğuna göre,
f'(x)— x f(x) Olur.
Şİnx1İ f üzerindeki bir Mkta yardımıyla bulalım. Bunun
de C(3n, 4n) olarak gösterdiğimiz noktayı kullanalım.
2
9n2
4
2
9
fin en küçük değeri tepe noktasında olduğuna göre, te-
pe noktası T(O, 2n) Olduğundan fonksiyonumm en küçük
değeri
4
9
8
9
159—
