İNTEGRAL
ADIM
İki fonksiyon grafiği arasında
kalan alan hesabı
İki fonksiyon grafiği arasındaki sınırlı bölgenin alanını bul-
mak için üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılır.
Tanım olarak İfade edersek;
f ve g fonksiyonları la, b] aralığı boyunca f(x) g(x)
şartını sağlayan sürekli fonksiyonlar olsun. Bu aralıkta
x z a ve x z b doğruları İle fonksiyonlar arasında kalan
bölgenin alanı (A);
g
[a. b] aralığın-
da I ve g eğ-
derinm arasın-
da kalan alan
Grafikte
c den b
O halde,
(a, bl aralığında a dan c ye kadar f İn üstte
ye kadar g nin üstte olduğuna dikkat ediniz.
(f(x) — g(x)) dx B— (g(x) — dx
A İle B bölgelerinin alanları toplamı İçin
A + B z lf(x) — dx
b
Alan (A)
integrali ile hesaplanır,
DİKKAT
- g(x)) dx
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken eğriler x ekse-
ninİn üstünde ya da altında Olabilir.
Her İki durumda da mantık aynıdır. Üsttekinden altta-
ki çıkarılın
İki eğri arasında kalan alanı bulmak İçin karşılaşabilece-
ğimiz durumları ele alalım.
Fonksiyonların grafikleri ve denklemleri verilmişse üst-
teki fonksiyonun denkleminden alttaki fonksiyonun
denklemi çıkarılır, Aralık boyunca grafikler yer değiş-
tiriyorsa arada kalan alan için fonksiyon denklemleri-
nin farkının mutlak değeri hesaplanır.
— 142
eşitliği yazılabilir.
* Eğer elimizde sadece fonksiyon denklemleri varsa ya-
tiklerini çizmek yorum kolaylığı sağlar. Grafikleri çize-
miyorşak fonksiyonların kesiştikleri noktaları bulmak
için denklemler eşitlenir , bu denklemlerin kökleri kesi-
şim noktalarını verir.
Kesişim noktalarının oluşturduğu aralıkta hangi tonk-
siyonun üstte olduğunu grafik çizmeden pratik olarak
anlamak için aralık içinden bir sayı seçilip iki fonksi-
yanda yazılır. Hangi değer büyük çıkıyorsa o fonksi-
yon üsttedir.
Örneğin;
'(x) x2 ve g(x) x arasında kalan alanı grafik çizme-
den bulmak İçin (bu tip fonksiyonların vatiğini çizebiliyor
olmanız gerekir) önce kesişen noktalar bulunur.
xzO x: 1
[O, II aralığında hangi fonksiyonun üstte olduğunu anla-
mak İçin aralıktan bir sayı seçiür.
x için 1 — « g — olduğundan g üsttedir.
2
O halde, arada kalan alan
(x — x2) dx ile hesaplanır.
Belirü htegral
