İNTEGRAL
ADIM
BELİRLİ İNTEGRAL
Sevgili Öğrenciler,
Bu adıma kadar kitapta ters türev yardımıyla ortaya koy-
duğumuz belirsiz integral kavramını öğrendik. Şimdi be-
lirli integral kavramına değineceğiz.
Belirli İntegral; alan, hacim, eğri uzunluğu, olasılık gibi pek
çok büyüklüğün hesaplanmasında kullanılan önemli bir
araçtır.
Türev kitabımızda ortalama hız ve anlık hız kavramların-
dan bahsedip, türevin anlık değişim oranını sunduğunu
ifade etmiştik.
Yine türev konuşunda türevin fiziksel anlamından bahse-
derken bir hareketlinin x(t) (yol) denkleminin türevi alınır-
Sa hız x'(t) v(t) denkleminin elde edileceğini söylemiş-
tik.
Şimdi yukarıdaki kavramlar üzerinden belirli integralin ba-
sitçe bir tarifini sunalım.
Örneğin; bir hareketlinin hız fonksiyonunu v(t) biliyor Ola-
Bu hareketlinin belli bir zaman aralığında aldığı yolu
veren fonksiyonu yani x(t) yi belirsiz integral yardımıyla
bulabiliriz.
Yol fonksiyonunun türevi, hız fonksiyonu olduğuna göre,
eşitliğini yazabiliriz.
Eğer elimizde hız fonksiyonu yoksa, sadece hareketlinin
farklı zamanlardaki hızları varsa, belli bir zaman aralığın-
da ne kadar yol aldığım nasıl bulabiliriz.
HIZ (knüşa)
20
l. şekil
HIZ (km/şa)
ZMnan
Zaman
Yukarıdaki I. şekil sabit hızla 1 saat yol alan bir aracın
hız-zaman grafiği olsun.
Aracın 1 saatte aldığı yol x— 20•1 220 km dir.
Dikkat edilirse boyalı bölgenin alanı aracın aldığı yo-
la eşittir.
Belirli İntegral
I. şekilde araç bir doğru boyunca ivmeli hareket edi-
yor Olsun
Aracın aldığı yol, hız-zaman grafiği altında kalan böl-
genin alanına eşittir. Yani
1-50
Alan
25 Olduğundan x 25 km yo eşittir.
2
Eğer hareketlinin (ti, t2) gibi bir zaman aralığında hız-
zaman grafiği aşağıdaki gibi olsaydı:
Hız (km'sa)
Zaman
(sa)
Bu aracın aldığı yolu nasıl bulabilirdik?
Burada temel geometri formülleri He toplam yer değiş-
tirmeyi hesaplayamayacağımız bir durum söz konusu
Olduğundan bu toplamın ya da boyalı alanın büyüklü-
ğünün İşlemi belirli integral yardımı He
yapılır.
Bu hesaplama yaklaşımını tam olarak ortaya koyan
Alman matematikçi Bernhard Riemann olmuştur.
Buraya kadar anlattıklarımızı kısaca özetlersek;
Türev, değişim oranını sunarken; belirt İntegral bel-
li bir aralıktaki toplam değişimi ya da toplam deŞ-
şim miktarım belirtir.
HIZ denkleminin İntegralinin bize yol denklemini şu-
nacağını ifade ettik.
Hız-zaman grafiğinin altında kalan bölgenin alanın
toplam alınan yolu verdiğirü örnek üzerinde görmüş
olduk.
61 —
